初中数学证明 证明书

初中数学证明
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证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME∥BC,MF∥AD,NE∥AD,NF∥BC，所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF∥BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2.(3)
所以只需证明:
S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)
延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立，将(4)式代入(3)式即得所得结论.
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证明：
分别取AE，CE的中点P和Q，连接FP,PH,HQ,QG，
下面证明三角形FPH 全等于 三角形 HQG
易知 FP = 1/2 AD = 1/2 AE = HQ
HP = 1/2 CE = 1/2 CB = GQ
易知 角DEA = 角BEC = 角ADE = 角CBE
易证 角DAE = 角BCE
角FPH = 角FPE +角EPH = 角DAE + 角BEC
角HQG = 角HQE +角EQG = 角DEA + 角CBE
于是 角FPH = 角HQG
由SAS定理，三角形FPH全等于三角形HQG
于是 FH = HG
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分析：(1)由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE.第二问分AD=AE(ⅰ)当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合、(ⅱ)当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，、(ⅲ)当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，故∠ADC=∠AED=90°.三种情况讨论.(2)存在，可证△ADC∽△AE′D，得到CD=AC=2.解：(1)①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°.由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC.推出△ABD∽△DCE.②分三种情况：(ⅰ)当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2.(ⅱ)当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，又AD=DE，知△ABD≌△DCE.所以AB=CD=2，故BD=CE=2 根号 2-2，所以AE=AC-CE=4-2根号 2.(ⅲ)当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，故∠ADC=∠AED=90°.所以AE=DE= 1/2AC=1.(2)①存在(只有一种情况).由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°.由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°.从而推出∠ADC=∠DE′A.证得△ADC∽△AE′D.所以 AC/CD= AD/DE′，又AD=DE′，所以CD=AC=2.考查相似三角形的判定和性质，相似三角形和全等三角形的转化.分情况讨论等腰三角形的可能性.